上图：马克思《数学手稿》，1974年中文版。

下图：马克思数学手稿手迹。（图片由作者提供）

5月5日是卡尔·马克思诞辰日。众所周知，马克思是全世界无产阶级的伟大导师、科学共产主义的创始人。但是，许多人不知道，马克思一生酷爱数学，数十年如一日地利用闲暇时间学习和钻研数学，给我们留下了近千页数学手稿，其中有读书摘要、心得笔记和述评，以及一些研究论文的草稿。 

马克思关于数学的探讨和他研究政治经济学有紧密的联系。早在1846年的一个经济学笔记本中，最后几页全是各种代数运算；在以后的许多笔记本中也都记有数学公式和图形，还有整页整页的算草；在为撰写《政治经济学批判大纲》准备材料的笔记本中他画了一些几何图形，记录了关于分数指数和对数的公式。

1858年1月11日，马克思在致恩格斯的信中说：“在制定政治经济学原理时，计算的错误大大地阻碍了我，失望之余，只好重新坐下来把代数迅速地温习一遍。算术我一向很差，不过间接地用代数方法，我很快又会计算了。”

1863年7月6日，马克思给恩格斯的信中说：“有空时我研究微积分。这个数学部分（仅就技术方面而言），例如同高等代数比起来，要容易得多。除了普通代数和三角以外，并不需要先具备什么知识，但是必须对圆锥曲线有一个一般的了解。”

马克思对高等数学的兴趣和钻研影响和带动了恩格斯，1865年以后，他们在通信中讨论得更多的则是微积分方面的问题了。马克思在一封给恩格斯的信中说：“全部微分学本来就是求任意一条曲线上的任何一点的切线。我就想用这个例子来给你说明问题的实质。”马克思用求抛物线上某一点的切线的例子，认真画了图，向恩格斯作了详细讲解。

1860年代后期，马克思陆续阅读了一大批微积分方面的书籍，其中有布沙拉、辛德、拉库阿、霍尔等人各自编写的微积分教科书，还有牛顿有关的数学原著等等，写下了详细的读书笔记。马克思比较了这些教科书，开始了自己对于微分学中一些问题的独立的思考。

根据各种微分法的不同特点，马克思把17-18世纪的微积分发展史划分为：以牛顿、莱布尼茨为代表的“神秘的微分学”，以达朗贝尔为代表的“理性的微分学”和以拉格朗日为代表的“纯代数的微分学”三个时期。他把微分过程概括为否定之否定的过程，提出微分是“扬弃了的差”等思想，这是与现代微积分理论和非标准分析理论中关于微分概念的哲学思想相吻合的。

马克思曾为自己能把高等数学的某些公式用于经济学的研究而深感高兴。1868年1月8日，马克思写信给恩格斯谈到工资问题的研究时，他说：“工资第一次被描写为隐藏在它后面的一种关系的不合理的表现形式，这一点通过工资的两种形式即计时工资和计件工资得到了确切的说明——在高等数学中常常可以找到这样的公式，这对我很有帮助。”

看来，马克思的数学兴趣与他希望把数学运用于经济学研究有关。在1873年5月31日给恩格斯的信中谈到经济危机的研究时，他说：“为了分析危机，我不止一次地想计算出这些作为不规则曲线的升和降，并曾想用数学公式从中得出危机的主要规律——而且现在我还认为，如有足够的经过检验的材料，这是可能的。”

1881年，马克思把一份《论导数概念》的手稿和一份“论微分”手稿誊抄清楚，先后寄给了恩格斯。恩格斯认真阅读了这些手稿，给马克思写了一封很长的讨论导函数的回信。

在《资本论》中我们看到了数学在经济学中的运用。马克思还把研究数学作为丰富唯物辩证法的一个源泉。在高等数学中，他找到了最符合逻辑的同时又是形式最简单的辩证关系。

马克思学习、研究和运用数学，不仅仅是运用数学的计算方法，而且也要运用数学的思维方法和论证方法。他强调说：“一门科学只有当它达到了能够成功地运用数学时，才算真正发展了。”

（作者系国家教育咨询委员会委员，中国科技馆原馆长、研究员）