让我们用一道选择题,当作本文的切入点。请问下列叙述何者为真?
A.图灵是“人工智能之父”
B.图灵本人并非人工智能
C.数学是自然科学之母
D.数学本身并非自然科学
E.以上皆是
如果您一时拿不定主意,不妨先看看下面的分析,再选出心中的正确答案。
自然科学的研究对象存在于自然界,数学则否
早在两千多年前,数学就经历了一次脱胎换骨的过程,将研究对象从看得见摸得到的东西,如牛羊和土地,逐步抽象为看不见摸不到的概念。举例而言,一只鸡、两只鸭、三只鹅和1、2、3就有本质上的差异,前者具体,后者抽象。数学公式也是同样的道理,例如1+2=3能描述无数的实际情况,而a+b=c适用性更广,这就是抽象化的威力。
几何形体也应作如是观,比方说,数学家定义的“圆”是一种完美无瑕的结构,至于真实世界的圆形,无论太阳、满月或车轮都各有各的瑕疵。虽然纳米科学家已经能将原子排成一圈,但在数学家眼中,这样的圆圈仍和一串念珠相差无几。
数学成果可以证明不能推翻,自然科学刚好相反
自然科学或多或少会使用归纳法,然而研究对象无穷无尽,任何结论都不可能一一验证毫无遗漏,因此它们都是若干时日后有可能被推翻的定律。
反之,数学的重要成果皆来自演绎,一旦导出或得证便永远成立。即使有人用无懈可击的方法推导出1+1=10,也并未否定1+1=2,他只是改用二进位制罢了。
自然科学的成果皆为发现,数学则接近发明
自然科学研究的是既存事物或规律,任何成果都不算无中生有,所以当然属于发现。
至于数学公式或定理,既然基本元素全是抽象概念,广义来说无一不是心智运作的产物。你可以发明1+1=2,他可以发明1+1=10,而图灵则可以发明1+1=11(想想这是几进位?)。
数学可以任意推广,自然科学则有限制
推广既有成果是数学家的天性,例如从平面几何推广到球面几何乃至立体几何,都是古希腊数学家的辉煌成就。后起之秀则更上N层楼,继续用想象力开发更高维度的空间,获得相当丰硕的成果。
这些空间和真实世界没有直接关系,甚至间接关系也不存在,其学术价值却受到一致肯定,不会有数学家质疑实用与否。
数学基础与自然科学基本精神颇有出入
演绎科学必须建立在坚实的根基上,否则无异于沙上城堡。因此,早在欧几里得的时代,数学便走上一条特立独行的公理化之路。
纵使公理一律具有不证自明的特色,“所有的直角彼此相等”便是典型的例子,但公理化的基本精神除了不证自明,还有不容置疑,这在很多人心中,显然就有违科学精神了。
不过,就自然科学观点而言,数学基础中最离经叛道的并非公理,而是所谓的“无定义名词”。这些名词被剥夺了拥有明确定义的资格,但它们所代表的概念起码符合你我的直觉经验。这么说虽然有点玄,事实上,无定义名词的实例并不罕见,几何学的点和直线都是这个家族的成员。
至于为何要弄得如此神秘,数学家当然有不得已的苦衷。倘若不以无定义名词当作人为的出发点,一定会有人发挥追根究底的精神,没完没了一路追问下去,那么数学的根基注定成为无底洞,怎么也找不到着力之处。
真理越辩越明。现在,正确答案是不是呼之欲出了?
(作者系科普科幻作家、译者)