钢琴琴键的一个八度音程为何要设计5个黑键和8个白键？为何倍数频率的泛音和基音可以完美重叠？

这些都可以从数学角度完美解释。最初的音乐就是简单地传递情感，然而在发展的过程中，音乐与数学发生了密切联系。等比数列、三角级数、斐波拉契数列、黄金分割、偏微分方程等数学理论都在音乐中有所渗透。

最早将音乐与数学联系起来的研究，源自古希腊数学家毕达哥拉斯，他认为数学就像音乐一样无处不在，区别在于音乐可以直接听，数学需要经过思考。毕达哥拉斯学派提出了“五度相生律”。相传毕达哥拉斯经过铁匠铺时，发现打铁节奏很有规律，那些音调和谐的锤子间有一种简单的数学关系。相反，那些重量之间不存在简单比例节奏的锤子，一起敲打时会发出噪声。他还发现了八度音与基本音调之比为1∶2，五度音之比为2∶3。将纯五度音程作为生律要素，称为“五度相生律”。这是人们最早用数学方法研究美的实践。

文艺复兴时期，数学和音乐的融合也加快了步伐，其间代表人物是达·芬奇，他不仅在绘画上造诣深厚，同时也是音乐家、数学家、建筑师等。达·芬奇研究如何设计新的键盘来提高弹奏速度、丰富声音种类，以及扩展音域。他在对乐器的探索中研究各种声波的性质以及数学原理，留下了很多相关手稿。达·芬奇和数学家、近代会计之父卢卡·帕乔利一起出版了《神圣比例》，内容正是数学中的黄金率0.618或1.618。

在中国古代历史上，音乐和数学的关联也常有记载。最早用数学解释的声学定律是“三分损益法”，意思是将管加长或者缩短三分之一，音调听起来也很和谐。明代著名音乐家和数学家朱载堉潜心研究术数乐律，于万历十二年完成了“十二平均律”的计算。17世纪，朱载堉的“十二平均律”被传教士带到了西方，被广泛应用，钢琴就是根据“十二平均律”的原理发明的。

工业革命前后，大机器的发明和应用使得数学对音乐和艺术的影响更加明显，其间代表人物是巴赫和贝多芬。巴赫是巴洛克时期的德国作曲家，在他创作的《音乐的奉献》乐曲中，听众感觉在不断地升调，奇怪的是，升调后最终又回到了原调上。

事实上，这种奇怪的现象与各层面间的递推和缠绕有关，数学上称为悖论，集合论基础的悖论曾引发第三次数学危机。

与巴赫齐名的另一位德国伟大音乐家贝多芬，一生创作了众多具有强烈艺术感染力的音乐作品。令人难以置信的是，他的很多作品都是在失聪状态下创作的，这一定缘于贝多芬深谙音符背后隐藏的规律，其中包括数学规律。

（作者系华中农业大学信息学院大学数学教学学术团队骨干教师）